В чем разница между натуральными и целыми числами?

Математики разработали системы для определения того, как определенное число отличается от другого. Как и другие понятия, категории номеров перекрываются.

Поскольку действительные числа включают в себя все рациональные числа, такие как целые числа, они имеют сходные характеристики, такие как использование целых чисел и построение на числовой строке.

Следовательно, ключевым отличием является то, что реальные числа являются общей классификацией, а целые — подмножеством, которое характеризуется целыми числами, которые могут иметь отрицательные свойства.

В чем разница между натуральными и целыми числами?

Что такое реальные цифры?

Реальные числа — это значения, которые вы можете найти на числовой строке, которая обычно выражается как геометрическая горизонтальная линия, где выбранная точка функционирует как «начало».

Те, которые падают с правой стороны, обозначаются как положительные, а те, что слева, отрицательны. Описание «настоящего» было представлено Рене Декарт, известным математиком и философом в 17 веке.

В частности, он установил разницу между реальными корнями полиномов и их мнимыми корнями.

  • Реальные числа включают целые, целые, естественные, рациональные и иррациональные числа:
  • Целые числа — это положительные числа, которые не имеют дробных частей и десятичных точек, поскольку они представляют целые объекты без фрагментов или кусков.
  • Целые числа — это целые числа, которые включают отрицательную сторону числовой линии.
  • Также известные как подсчет чисел, натуральные числа похожи на целые числа, но нуль не включается, поскольку ничто не может быть по существу подсчитано как «0».

Что касается его происхождения, Пифагор, древнегреческий математик, провозгласил, что все числа являются рациональными. Рациональные числа — это частные или дробные числа двух целых чисел. Где p и q — оба целых числа, а q не эквивалентен нулю, p / q — рациональное число. Например, 3/5 — это рациональное число, но 3/0 — нет.

Студент Пифагора, Гиппас не согласился с тем, что все цифры были рациональными. Через геометрию он доказал, что некоторые числа иррациональны. Например, квадратный корень из двух, который равен 1.

41, не может быть выражен как дробь; следовательно, он иррационален. К сожалению, действительность рациональных чисел не была принята последователями Пифагора.

Это привело к тому, что Гиппас утонул в море, которое, как говорили, было наказанием богов за это время.

В чем разница между натуральными и целыми числами?

Что такое целые числа?

Из латинского слова «integer», которое переводится как «целое» или «нетронутое», эти числа не имеют дробных или десятичных компонентов, как целые числа. Числа включают положительные натуральные числа или числа подсчета и их негативы.

Например, -3, -2, -1, 0, -1, 2, 3 являются целыми числами. Обычная иллюстрация — равномерно распределенные числа на бесконечной числовой линии с нулем, которая не является ни положительной, ни отрицательной, посередине.

Следовательно, положительные результаты больше отрицательных.

Что касается его истории, следующие учетные записи отслеживают, как были применены целые числа:

  • В 200 г. до Р.Х. отрицательные числа были сначала представлены красными стержнями в Древнем Китае.
  • Примерно в 630 году А. Д., отрицательные числа были использованы для представления долга в Индии.
  • Арбермут Хольст, немецкий математик, вводил целые числа в 1563 году как система в дополнение и умножение. Он разработал систему как ответ на растущее число кроликов и слонов, на которых он экспериментировал.
  1. Ниже приведены характеристики целых чисел:
  2. Числа в правой части числовой линии положительны, и они часто представляют собой более высокую ценность их отрицательных копий.
  3. Числа в левой части числовой линии часто рассматриваются как меньшее стандартное значение их положительных аналогов.
  4. Центр числовой линии, нуль — это целое число, которое не является ни положительным, ни отрицательным.
  5. Подобно целым числам, целые числа не имеют десятичных точек и дробей.

Разница между реальными числами и целыми числами

Объем реальных чисел и целых чисел

Реальные числа включают целые числа, рациональные, иррациональные, естественные и целые числа. С другой стороны, область целых чисел в основном касается целых чисел, которые являются отрицательными и положительными. Следовательно, действительные числа более общие.

Фракции

Реальные числа могут включать в себя такие фракции, как рациональные и иррациональные числа. Однако дроби не могут быть целыми числами.

Свойство с наименьшей границей

Реальные числа имеют свойство с наименьшим верхним пределом, которое также известно как «полнота». Это означает, что линейный набор действительных чисел имеет подмножества с супремумальными качествами. Напротив, целые числа не обладают свойством наименьшей верхней границы.

Архимедовое имущество

Архимедовое свойство, являющееся предположением о том, что существует натуральное число, равное или большее любого действительного числа, может быть применено к действительным числам. Напротив, Архимедовое свойство не может быть применено к целым числам.

поле

Реальные числа — это своеобразное поле, которое является существенной алгебраической структурой, в которой определены арифметические процессы. Напротив, целые числа не рассматриваются как поле.

Счетный

В качестве набора действительные числа несчетны, а целые числа являются счетными.

Символы действительных чисел и целых чисел

Реальные числа обозначаются как «R», а набор целых чисел — «Z». N. Bourbaki, группа французских математиков 1930-х годов, указала «Z» на немецкое слово «Zahlen», что означает число или целые числа.

Происхождение слова для реальных чисел и целых чисел

Реальные числа обозначают вещественные корни многочленов, а целое число — латинское слово, «целое», поскольку они не включают десятичные числа и дроби.

Реальные числа против целых чисел

В чем разница между натуральными и целыми числами?

Резюме действительных чисел против целых чисел

  • На числовой строке могут отображаться как действительные числа, так и целые числа.
  • Целые числа — это подмножество вещественных чисел.
  • Целые числа имеют отрицательные числа.
  • В качестве набора реальные числа имеют более общий масштаб по сравнению с целыми числами.
  • В отличие от целых чисел, действительные числа могут содержать дроби и десятичные точки.
  • Свойства наименее связанного, архимедова и поля обычно применимы к действительным числам, но не к целым числам.
  • В отличие от действительных чисел, целые числа являются строго счетными.
  • «R» означает действительные числа, а «Z» — для целых чисел.

Источник: https://ru.esdifferent.com/difference-between-real-numbers-and-integers

В чем разница между натуральными и целыми числами?

В чем разница между натуральными и целыми числами?

Определяющее понятие математики – число, которое используется для количественной характеристики объектов. Наука оперирует их несколькими видами. Осознание особенностей этого понятия поможет избежать ошибок, приблизит открытие новых горизонтов познания точной науки.

Считать человек научился тогда, когда научился говорить. Первоначально это было определение количества предметов, товара. При появлении письменности придумали специальные значки – цифры. В этой стать речь пойдёт о натуральных и целых числах, как самых простых.

Натуральные числа

На заре цивилизации первобытные люди обходились понятиями «один» и «много». Древние охотники не утруждали себя подсчётами. При возникновении товарообменных отношений назрела потребность усложнить счёт.

Во время торговли приходилось считать количество товара. Тогда появились самые простые числа. Их называют натуральными, так как возникли естественным образом при счёте.

Ими описывают количество предметов или порядковый номер ряда подобных объектов. Для письменного отображения этих величин используют специальные знаки, которые называют цифрами: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Пример записи: двести тридцать один – 231.

Самая маленькая величина – единица (1), самой большой нет. Если возьмём самое большое, на наш взгляд, значение, к нему всегда можно добавить ещё 1, получить большее, и так до бесконечности.

При их расположении последовательно в порядке возрастания получаем числовой ряд. Каждый следующий элемент ряда увеличивается на 1 по отношению к предыдущему. Этот массив элементов обозначают N={1, 2, 3, …n, …}. Сюда не входит ноль, он применяется только для описания многозначных величин.

Если выражение содержит только один значок, то оно называется однозначным. Например: 1, 3, 7. Если запись имеет больше одной цифры, то она многозначная.

К примеру, числа: 15, 23, 78 – двузначные, 125, 561, 938 – трёхзначные, 2589, 1596, 3564 – четырёхзначные. Математика использует десятичную систему исчисления.

При записи каждому значку соответствует своё определённое значение в зависимости от расположения. Например, 286:

  • Последняя шесть означает 6 единиц.
  • Предпоследняя восемь – 8десятков.
  • Первая двойка – 2 сотни.

В этой записи две сотни, восемь десятков и шесть единиц.

С ними производят математические действия: сложение, вычитание, умножение, деление, а также возведение в степень и извлечение корня. Но только при умножении и сложении получают натуральные числа. Если выполнять другие действия, то получим целую или дробную величину.

У этого понятия определение шире. Сюда входят элементы, описанные выше, а также противоположные по значению и 0. В итоге, имеем бесконечное количество натуральных (1, 2, 3, 4, …) и столько же противоположных значений.

Совокупность их с нолём называется целыми.Они бывают положительными и отрицательными. Первые подразумевают знак плюс (обычно не пишется). Примеры таких записей: 8, 15, 127, 3259.

Отрицательные целые имеют знак минус (всегда пишется): −9, −21, −832, −4785. Они появились при развитии товарообменных отношений. Так было удобно считать долги. Например, торговцу заплатили за мешок вяленой рыбы одну шкурку лисы, а надо было три, то долг составит ещё две шкурки: 1− 3 = −2.

Ноль стоит обособленно. Он не принадлежит ни к тем, ни к другим. Все что больше него – положительные, меньше – отрицательные.

Множество этих элементов обозначают Z={… −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}. С ними выполняют основные математические действия, нельзя только делить на ноль.

Этими значениями принято описывать количественное изменение предметов или физических явлений во времени.

Общие черты понятий

  1. Оба выполняют количественную характеристику предметов или каких-то параметров.
  2. Натуральные значения входят во множество целых, то есть любое из них будет целым.
  3. Математические действия кроме деления и извлечения корня с обоими видами даёт целое.
  4. Самого большого числа для них нет – исчезает в бесконечности.

В чем разница между натуральными и целыми числами?

Отличия чисел

Наряду с общими признаками у этих понятий есть различия в написании, значениях и функциях.

Натуральные всегда больше ноля, целые – положительные, отрицательные и 0, поэтому не каждое целое будет натуральным.

У первых самое маленькое значение единица, у вторых его нет, оно бесконечно малое. Какую бы маленькую величину мы не придумали, от неё всегда можно отнять единицу и получить ещё меньшую и так бесконечно много раз.

Целыми легче описывать изменение количества, чем натуральными. При этом нет необходимости конкретно указывать увеличение или уменьшение численности. Само число характеризует эту перемену, а знак перед ним указывает направление. Вот примеры такого описания. Пусть в библиотеке есть некоторое количество книг.

Читайте также:  Какой препарат лучше ретиноевая мазь или дифферин?

Если туда привезут еще восемьдесят, то их станет больше, а 80 выражает это изменение перечня в сторону повышения. Если же из библиотеки заберут тридцать книг, то их станет меньше, а 30 будет выражать перемену в сторону снижения.

В библиотеку не будут привозить и увозить издания, то говорят о неизменности наличия литературы, то есть произошла нулевая перемена.

Этот пример показывает преобразование объёма книг с помощью целых чисел 80, −30 и 0 соответственно. Положительное 80 передаёт рост численности, отрицательное −30 выражает её понижение (отрицательная величина). Ноль показывает, что сумма предметов осталось без изменения.

Целыми хорошо описывается варьирование физических величин. При увеличении температуры на 3 градуса, это указывается значением 3. Уменьшение температуры на 10 градусов записывается как число с минусом: −10. А постоянство температуры определяется нолём.

Не каждый из нас математик, но понимание основ этой науки сыграет позитивную роль для каждого. Элементарные математические знания не раз выручат в трудной ситуации.

Источник: https://vchemraznica.ru/v-chem-raznica-mezhdu-naturalnymi-i-celymi-chislami/

Разница между целым и целым числом | Разница Между

Ключевая разница: Целое число относится к целому числу, означающему, что оно не в форме дроби. Целые числа состоят из целых чисел, а также их противоположностей. Целые числа являются натуральными числами, включая ноль. В чем разница между натуральными и целыми числами? Целые числа могут быть описаны как числа, которые не включают в себя какой-либо дробный или десятичный компонент. Целые числа также включают отрицательные числа. Важно отметить, что 0 также включен в список целых чисел. Ноль считается нейтральным, что означает, что он не является ни отрицательным, ни положительным. Если число записано в виде десятичной дроби или дроби: например, –8,00 и 12/2, оба они будут называться целыми числами, поскольку они равны –8 и 6 соответственно. Теория чисел — это раздел чистой математики, который посвящен прежде всего изучению целых чисел. Целые числа широко используются при решении задач. В чем разница между натуральными и целыми числами?Целые числа не очень отличаются от целых чисел. Основное различие между ними состоит в том, что целые числа содержат отрицательные числа натуральных чисел, тогда как целое число содержит только нулевые и положительные целые числа. Целые числа также известны как счетные числа. Целые числа являются натуральными числами, включая ноль.

W = {0,1,2,3,4,5, …………..}

  • W = 0 + N.
  • Чтобы полностью понять арифметику целых чисел, необходимо уяснить основы понимания нашей системы счисления, которая известна как индуистско-арабская система счисления.
  • Сравнение между целым и целым числом:
целое число Целое число
Определение Целое число относится к целому числу, означающему, что оно не в форме дроби. Целые числа состоят из целых чисел, а также их противоположностей. Целые числа являются натуральными числами, включая ноль.
Типы
  • Положительные целые числа — они также известны как неотрицательные целые числа. (3,5,90)
  • Отрицательные целые числа — они противоположны положительным целым числам и имеют префиксный знак «-». (-3, -5, -90)
  • Положительные целые числа —
  • (4,6,9,10)
  • Ноль — 0
Происхождение слова От латинского целое число (буквально означающее «нетронутый», следовательно, «целое»: слово «целое» происходит от того же происхождения, но через французский. Вероятно, из Среднеанглийской дыры, невредимый,

Сливочный сыр — тип мягкого сыра. Спред для плавленого сыра производится путем смешивания сливочного сыра с другими ингредиентами, чтобы облегчить распространение….

Археология занимается изучением древнего искусства, обычаев и науки через процесс восстановления и анализа оставленных вещей. Генеалогия — это изучение семьи и постоянное отслеживание предков….

Источник: https://ru.natapa.org/difference-between-integer-and-whole-number-3629

Целые числа

  • Целые отрицательные числа
  • Сравнение целых чисел

Если к ряду натуральных чисел приписать слева число 0, то получится ряд положительных целых чисел:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …

Целые отрицательные числа

Рассмотрим небольшой пример. На рисунке слева изображён термометр, который показывает температуру 7 °C тепла. Если температура понизится на 4 °C, то термометр будет показывать 3 °C тепла. Уменьшению температуры соответствует действие вычитания:

7 — 4 = 3

Примечание: все градусы пишутся с буквой C (Цельсия), знак градуса отделяется от числа пробелом. Например, 7 °C.

Если температура понизится на 7 °C, то термометр будет показывать 0 °C. Уменьшению температуры соответствует действие вычитания:

7 — 7 = 0

Если же температура понизится на 8 °C, то термометр покажет -1 °C (1 °C мороза). Но результат вычитания 7 — 8 нельзя записать с помощью натуральных чисел и нуля.

Проиллюстрируем вычитание на ряде целых положительных чисел:

1) От числа 7 отсчитаем влево 4 числа и получим 3:

В чем разница между натуральными и целыми числами?

2) От числа 7 отсчитаем влево 7 чисел и получим 0:

В чем разница между натуральными и целыми числами?

Отсчитать в ряду положительных целых чисел от числа 7 влево 8 чисел нельзя. Чтобы действие 7 — 8 стало выполнимым, расширим ряд положительных целых чисел. Для этого влево от нуля запишем (справа налево) по порядку все натуральные числа, добавляя к каждому из них знак — , показывающий, что это число стоит слева от нуля.

Записи -1, -2, -3, … читают минус 1, минус 2, минус 3 и т. д.:

…,  -5,  -4,  -3,  -2,  -1,  0,  1,  2,  3,  4,  5,  …

Полученный ряд чисел называют рядом целых чисел. Точки слева и справа в этой записи означают, что ряд можно продолжать неограниченно вправо и влево.

Справа от числа 0 в этом ряду расположены числа, которые называют натуральными или целыми положительными (кратко – положительными).

Слева от числа 0 в этом ряду расположены числа, которые называют целыми отрицательными (кратко – отрицательными).

Число 0 целое, но не является ни положительным, ни отрицательным числом. Оно разделяет положительные и отрицательные числа.

  • Следовательно, ряд целых чисел состоит из целых отрицательных чисел, нуля и целых положительных чисел.
  • Сравнить два целых числа – значит, узнать, какое из них больше, какое меньше, или определить, что числа равны.
  • Сравнивать целые числа можно с помощью ряда целых чисел, так как числа в нём расположены от меньшего к большему, если двигаться по ряду слева направо. Поэтому в ряду целых чисел можно заменить запятые на знак меньше:

… -5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...

  1. Следовательно, из двух целых чисел больше то число, которое в ряду стоит правее, и меньше то, которое стоит левее, значит:
  2. 1) Любое положительное число больше нуля и больше любого отрицательного числа:
  3. 1 > 0;   15 > -16
  4. 2) Любое отрицательное число меньше нуля:
  5. -7 < 0;    -357 < 0
  6. 3) Из двух отрицательных чисел больше то, которое в ряду целых чисел стоит правее:
  7. -31 < -28

Источник: https://naobumium.info/algebra/celye_chisla.php

Целые числа: общее представление

В данной статье определим множество целых чисел, рассмотрим, какие целые называются положительными, а какие отрицательными. Также покажем, как  целые числа используются для описания изменения некоторых величин. Начнем с определения и примеров целых чисел.

Целые числа. Определение, примеры

Вначале вспомним про натуральные числа ℕ. Само название говорит о том, что это такие числа, которые естественно использовались для счета с незапамятных времен. Для того, чтобы охватить понятие целых чисел, нам нужно расширить определение натуральных чисел.

Определение 1. Целые числа

Целые числа — это натуральные числа, числа, противоположные им, и число нуль. 

Множество целых чисел обозначается буквой ℤ.

Множество натуральных чисел ℕ — подмножество целых чисел ℤ. Любое натуральное число является целым, но не любое целое число является натуральным.

Из определения следует, что целым является любое из чисел 1, 2, 3.., число 0, а также числа -1, -2, -3,..

В соответствии с этим, приведем примеры. Числа 39, -589, 10000000, -1596, 0 являются целыми числами.

Целые числа и координатная прямая

Пусть координатная прямая проведена горизонтально и направлена вправо. Взглянем на нее, чтобы наглядно представить расположение целых чисел на прямой.

В чем разница между натуральными и целыми числами?

Началу отсчета на координатной прямой соответствует число 0, а точкам, лежащим по обе стороны от нуля соответствуют положительные и отрицательные целые числа. Каждой точке соответствует единственное целое число. 

В любую точку прямой, координатой которой является целое число, можно попасть, отложив от начала координат некоторое количество единичных отрезков.

Положительные и отрицательные целые числа

Из всех целых чисел логично выделить положительные и отрицательные целые числа. Дадим их определения.

Определение 2. Положительные целые числа

Положительные целые числа — это целые числа со знаком «плюс».

Например, число 7 — целое число со знаком плюс, то есть положительное целое число. На координатной прямой это число лежит справа от точки отсчета, за которую принято число 0. Другие примеры положительных целых чисел: 12, 502, 42, 33, 100500.

Определение 3. Отрицательные целые числа

Отрицательные целые числа — это целые числа со знаком «минус».

Примеры целых отрицательных чисел: -528, -2568, -1.

Число 0 разделяет положительные и отрицательные целые числа и само не является ни положительным, ни отрицательным. 

Любое число, противоположное положительному целому числу, в силу определения, является отрицательным целым числом. Справедливо и обратное. Число, обратное любому отрицательному целому числу, есть положительное целое число. 

Можно дать другие формулировки определений отрицательных и положительных целых чисел, используя их сравнение с нулем.

Определение 4. Положительные целые числа

Положительные целые числа — это целые числа, которые больше нуля.

Определение 5. Отрицательные целые числа

Отрицательные целые числа — это целые числа, которые меньше нуля.

Соответственно, положительные числа лежат правее начала отсчета на координатной прямой, а отрицательные целые числа находятся левее от нуля.

Ранее мы уже говорили, что натуральные числа — это подмножество целых. Уточним этот момент. Множество натуральных чисел составляют целые положительные числа. В свою очередь, множество отрицательных целых чисел является множеством чисел, противоположных натуральным.

Важно!

Любое натуральное число можно назвать целым, но любое целое число нельзя назвать натуральным. Отвечая на вопрос, являются ли являются ли отрицательные числа натуральными, нужно смело говорить — нет, не являются.

Неположительные и неотрицательные целые числа

Дадим определения.

Определение 6. Неотрицательные целые числа

Неотрицательные целые числа — это положительные целые числа и число нуль.

Определение 7. Неположительные целые числа

Неположительные целые числа — это отрицательные целые числа и число нуль.

  • Как видим, число нуль не является ни положительным, ни отрицательным.
  • Примеры неотрицательных  целых чисел: 52, 128, 0.
  • Примеры неположительных целых чисел: -52, -128, 0.

Неотрицательное число — это число, большее или равное нулю. Соответственно, неположительное целое число — это число, меньшее или равное нулю.

Термины «неположительное число» и «неотрицательное число» используются для краткости. Например, вместо того, чтобы говорить, что число a — целое число, которое больше или равно нулю, можно сказать: a — целое неотрицательное число.

Использование целых чисел при описании изменения величин

Для чего используются целые числа? В первую очередь, с их помощью удобно описывать и определять изменение количества каких-либо предметов. Приведем пример.

Читайте также:  Чем отличается профессия от специальности?

Пусть на складе хранится какое-то количество коленвалов. Если на склад привезут еще 500 коленвалов, то их количество увеличится. Число 500 как раз и выражает изменение (увеличение) количества деталей. Если потом со склада увезут 200деталей, то это число также будет характеризовать изменение количества коленвалов. На этот раз, в сторону уменьшения.

  1. Если же со склада ничего не будут забирать, и ничего не будут привозить, то число 0 укажет на неизменность количества деталей.
  2. Очевидное удобство использования целых чисел в отличие от натуральных в том, что их знак явно указывает на направление изменения величины (увеличение или убывание).
  3. Понижение температуры на 30 градусов можно охарактеризовать отрицательным числом -30, а увеличение на 2 градуса — положительным целым числом 2.

Приведем еще один пример с использованием целых чисел. На этот раз, представим, что мы должны отдать кому-то 5 монет. Тогда, можно сказать, что мы обладаем -5 монетами. Число 5 описывает размер долга, а знак «минус» говорит о том, что мы должны отдать монеты.

Если мы должны 2 монеты одному человеку, а 3 — другому, то общий долг (5 монет) можно вычислить по правилу сложения отрицательных чисел:

-2+(-3)=-5

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/dejstvitelnye-ratsionalnye-irratsionalnye-chisla/tselye-chisla/

Почему единицу не относят к простым числам, и когда её вообще начали считать числом

В чем разница между натуральными и целыми числами?Мой друг инженер недавно меня удивил. Он сказал, что не уверен, является число 1 простым или нет. Я удивилась, потому что никто из математиков не считает единицу простым.

Путаница начинается с определения, которое дают простому числу: это положительное целое число, которое делится только на 1 и само на себя. Число 1 делится на 1, и оно делится само на себя. Но деление на себя и на 1 здесь не является двумя различными факторами. Так простое число это или нет? Когда я пишу определение простого числа, то пытаюсь устранить эту двусмысленность: я прямо говорю о необходимости ровно двух различных условий, деление на 1 и само на себя, или что простое число должно быть целым числом больше 1. Но зачем идти на такие меры, чтобы исключить 1?

Моё математическое образование научило меня, что хорошей причиной того, почему 1 не считается простым, является основная теорема арифметики. Она утверждает, что каждое число может быть записано как произведение простых чисел ровно одним способом. Если бы 1 было простым, мы бы потеряли эту уникальность. Мы могли бы записать 2 как 1×2, или 1×1×2, или 1594827×2. Исключение 1 из простых чисел устраняет это.

Изначально я планировала в статье объяснить основную теорему арифметики и покончить с этим. Но на самом деле не так сложно изменить формулировку теоремы для решения проблемы с единицей.

В конце концов, вопрос моего друга разжёг моё любопытство: как математики остановились на этом определении простого числа? Беглый поиск по Википедии показал, что единица раньше считалась простым числом, а сейчас нет.

Но статья Криса Колдуэлла и Енг Сюна демонстрирует немного более сложную историю.

Это можно понять с самого начала их статьи: «Во-первых, является ли число (особенно единица) простым — это вопрос определения, то есть вопрос выбора, контекста и традиции, а не вопрос доказательства. Тем не менее, определения не возникают случайным образом; выбор связан с нашим использованием математики и, особенно в этом случае, нашей нотацией».

Колдуэлл и Сюн начинают с классических греческих математиков. Они не считали 1 числом так же, как 2, 3, 4 и так далее. 1 считалась цифрой, а число состояло из нескольких цифр. По этой причине 1 не могла быть простым — это даже не число.

Арабский математик IX века аль-Кинди писал, что это не число и, следовательно, не является чётным или нечётным. В течение многих веков преобладало представление, что единица — это строительный блок для составления всех чисел, но не само число.

В 1585 году фламандский математик Саймон Стевин указал, что в десятичной системе нет никакой разницы между 1 и любыми другими числами. Во всех отношениях 1 ведёт себя как любая другая величина. Хотя и не сразу, но это наблюдение в конечном итоге привело математиков к принятию 1 как любого другого числа. До конца XIX века некоторые выдающиеся математики считали 1 простым, а некоторые нет. Насколько я могу судить, это не было причиной разногласий; для самых популярных математических вопросов различие не являлось критически важным. Колдуэлл и Сюн цитируют Г. Х. Харди как последнего крупного математика, считающего 1 простым (он явно указал его в качестве простого числа в первых шести изданиях «Курса чистой математики», опубликованных между 1908 и 1933 годами, а в 1938 году изменил определение и назвал 2 наименьшим простым). В статье упоминаются, но не разбираются подробно изменения в математике, из-за которых 1 исключили из списка простых чисел. В частности, одним из важных изменений стала разработка множеств за пределами множества целых чисел, которые ведут себя как целые.

В самом простом примере мы можем спросить, является ли число -2 простым. Вопрос может показаться бессмысленным, но он побуждает нас выразить словами уникальную роль единицы среди целых чисел. Самым необычным аспектом 1 является то, что его обратное значение тоже является целым числом (обратное значение x — это число, которое при умножении на x даёт 1.

У числа 2 обратное значение 1/2 входит в множество рациональных или действительных чисел, но не является целым: 1/2×2=1). Число 1 оказалось собственным обратным числом. Ни у какого другого положительного целого числа нет обратного значения в множестве целых чисел. Число с обратным значением называется обратимым элементом.

Число −1 тоже является обратимым элементом в наборе целых чисел: опять же, оно обратимый элемент само для себя. Мы не рассматриваем обратимые элементы как простые или составные, потому что вы можете умножить их на некоторые другие обратимые элементы без особых изменений. Тогда мы можем считать, что число -2 не так уж отличается от 2; с точки зрения умножения.

Если 2 является простым, то и −2 должно быть таким же.

Я старательно избегала в предыдущем абзаце определения простого из-за неудачного факта, что для этих больших множеств такое определение не подходит! То есть оно немного нелогично, и я бы выбрала другое. Для положительных целых чисел у каждого простого числа p два свойства:

Его нельзя записать как произведение двух целых чисел, ни одно из которых не является обратимым элементом.

Если произведение m×n делится на p, то m или n должны быть делимы на p (для примера, m=10, n=6, а p=3.)

Первое из этих свойств — то, как мы могли бы охарактеризовать простые числа, но, к сожалению, тут получается неприводимый элемент. Второе свойство — это простой элемент. В случае натуральных чисел, конечно, одни и те же числа удовлетворяют обоим свойствам. Но это не относится к каждому интересному набору чисел.

В качестве примера рассмотрим множество чисел вида a+b√−5 или a+ib√5, где a и b — целые числа, а i — квадратный корень из −1. Если вы умножите числа 1+√−5 и 1-√−5, то получите 6.

Конечно, вы также получите 6, если умножите 2 и 3, которые тоже находятся в этом множестве чисел при b=0.

Каждое из чисел 2, 3, 1+√−5, и 1−√−5 нельзя представить как произведение чисел, которые не являются обратимыми элементами (если не верите мне на слово, это не слишком трудно проверить).

Но произведение (1+√−5)(1−√−5) делится на 2, а 2 не делится ни на 1+√−5, ни на 1−√−5 (опять же, можете проверить, если не верите мне). Таким образом, 2 является неприводимым элементом, но не простым. В этом наборе чисел 6 можно разложить на неприводимые элементы двумя различными способами.

Приведённое выше число, которое математики могут назвать Z[√-5], содержит два обратимых элемента: 1 и −1. Но есть аналогичные множества чисел с бесконечным количеством обратимых элементов. Поскольку такие множества стали объектами изучения, есть смысл чётко разграничить определения обратимого, неприводимого и простого элементов. В частности, если есть множества чисел с бесконечным числом обратимых элементов, становится всё труднее понять, что мы подразумеваем под уникальной факторизацией чисел, если не уточнить, что обратимые элементы не могут быть простыми. Хотя я не историк математики и не занимаюсь теорией чисел и хотела бы прочитать больше, как именно происходил этот процесс, но я думаю, что это одна из причин, которые Колдуэлл и Сюн считают причиной исключения 1 из простых чисел.

Как это часто бывает, мой первоначальный аккуратный и лаконичный ответ на вопрос, почему всё устроено так, как есть, в конечном итоге стал только частью проблемы. Спасибо моему другу за то, что задал вопрос и помог мне узнать больше о сложной истории простоты.

Источник: https://habr.com/post/450838/

Числа: натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные

Натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные числа

Натуральные числа определение – это целые положительные числа. Натуральные числа используют для счета предметов и многих иных целей. Вот эти числа:

1; 2; 3; 4;…

Это натуральный ряд чисел. Ноль натуральное число? Нет, ноль не является натуральным числом. Сколько натуральных чисел существует? Существует бесконечное множество натуральных чисел. Каково наименьшее натуральное число? Единица — это наименьшее натуральное число.

Каково наибольшее натуральное число? Его невозможно указать, ведь существует бесконечное множество натуральных чисел.

  • Сумма натуральных чисел есть натуральное число. Итак, сложение натуральных чисел a и b:
  • a + b = c
  • с — это всегда натуральное число.
  • Произведение натуральных чисел есть натуральное число. Итак, произведение натуральных чисел a и b:
  • a * b = c
  • с — это всегда натуральное число.

Разность натуральных чисел Не всегда есть натуральное число. Если уменьшаемое больше вычитаемого, то разность натуральных чисел есть натуральное число, иначе — нет.

  1. Частное натуральных чисел Не всегда есть натуральное число. Если для натуральных чисел a и b
  2. a : b = c

где с — натуральное число, то это значит, что a делится на b нацело. В этом примере a — делимое, b — делитель, c — частное.

Делитель натурального числа — это натуральное число, на которое первое число делится нацело.

Каждое натуральное число делится на единицу и на себя.

Простые натуральные числа делятся только на единицу и на себя. Здесь имеется ввиду делятся нацело. Пример, числа 2; 3; 5; 7 делятся только на единицу и на себя. Это простые натуральные числа.

  • Единицу не считают простым числом.
  • Числа, которые больше единицы и которые не являются простыми, называют составными. Примеры составных чисел:
  • 4; 6; 8; 9; 10
  • Единицу не считают составным числом.
  • Множество натуральных чисел составляют единица, простые числа и составные числа.
  • Множество натуральных чисел обозначается латинской буквой N.
  • Свойства сложения и умножения натуральных чисел:
  • переместительное свойство сложения
  • a + b = b + a;
  • сочетательное свойство сложения
  • (a + b) + c = a + (b + c);
  • переместительное свойство умножения
  • ab = ba;
  • сочетательное свойство умножения
  • (ab) c = a (bc);
  • распределительное свойство умножения
  • a (b + c) = ab + ac;
Читайте также:  Ddr3l и ddr3 — разница между типами оперативной памяти

Целые числа

Целые числа — это натуральные числа, ноль и числа, противоположные натуральным.

Числа, противоположные натуральным — это целые отрицательные числа, например:

-1; -2; -3; -4;…

Множество целых чисел обозначается латинской буквой Z.

Рациональные числа

Рациональные числа — это целые числа и дроби.

Любое рациональное число может быть представлено в виде периодической дроби. Примеры:

-1,(0); 3,(6); 0,(0);…

  1. Из примеров видно, что любое целое число есть периодическая дробь с периодом ноль.
  2. Любое рациональное число может быть представлено в виде дроби m/n, где m целое число,n натуральное число. Представим в виде такой дроби число 3,(6) из предыдущего примера:
  3. 22/6 = 3,(6);
  4. Другой пример: рациональное число 9 может быть представлено в виде простой дроби как 18/2 или как 36/4.
  5. Ещё пример: рациональное число -9 может быть представлено в виде простой дроби как -18/2 или как -72/8.
  6. Множество рациональных чисел обозначается латинской буквой Q.
  7. Подробнее о рациональных числах в разделе Рациональные числа.

Иррациональные числа

Иррациональные числа — это бесконечные непериодические десятичные дроби. Примеры:

число пи = 3,141592… число е = 2,718281…

Подробнее об иррациональных числах в разделе Иррациональные числа.

Действительные числа

Действительные числа – это все рациональные и все иррациональные числа.

Множество действительных чисел обозначается латинской буквой R.

Источник: http://www.sbp-program.ru/shkolnaya-algebra/chisla.htm

Различие между вещественными и целыми числами

Существуют величины, которые
по своей природе могут принимать только
целые значения, например, счетчики
повторений каких-то действий, количество
людей и предметов, координаты пикселей
на экране и т.п.

(возможно, вы видели
известный мультфильм «В стране невыученных
уроков», где полтора землекопа искали
породившего их двоечника).

Кроме того,
как показано в главе 2, кодирование
нечисловых видов данных (текста,
изображений, звука) сводится именно к
целым числам.

Чтобы сразу исключить все
возможные проблемы, связанные с
неточностью представления в памяти
вещественных чисел, целочисленные
данные кодируются в компьютерах особым
образом.

Целые и вещественные числа в компьютере хранятся и обрабатываются по-разному.

Операции с целыми числами,
как правило, выполняются значительно
быстрее, чем с вещественными. Не случайно
в ядре современных процессоров реализованы
только целочисленные арифметические
действия, а для вещественной арифметики
используется специализированный
встроенный блок – математический
сопроцессор
.

Кроме того, использование
целых типов данных позволяет экономить
компьютерную память. Например, целые
числа в интервале от 0 до 255 в языке
Паскаль можно хранить в переменных типа
byte, которые занимают
всего один байт в памяти. В то же время
самое «короткое» вещественное число
(типа single) требует
четыре байта памяти.

Наконец, только для целых
чисел определены операции деления
нацело и нахождения остатка. В некоторых
задачах они удобнее, чем простое деление
с получением дробного (к тому же не
совсем точного) результата: например,
без них не обойтись при вычислении
наибольшего общего делителя двух чисел.

Таким образом, для всех
величин, которые не могут иметь дробных
значений, нужно использовать целочисленные
типы данных.

Дискретность представления чисел

Из главы 2 вы знаете, что
существует непрерывное и дискретное
представление информации. Их принципиальное
различие состоит в том, что дискретная
величина может принимать конечное
количество различных значений в заданном
интервале, а непрерывная имеет бесконечно
много возможных значений. Для нашего
обсуждения важно, что

  • целые числа дискретны:
  • вещественные (действительные, дробные) числа непрерывны;
  • современный компьютер работает только с дискретными данными.

Таким образом, для хранения
вещественных чисел в памяти компьютере
нужно выполнить дискретизацию
– записать непрерывную величину в
дискретной форме. При этом может
происходить искажение данных, поэтому
большинство трудностей в компьютерной
арифметике (антипереполнение,
приближенность представления дробной
части и др.) связано именно с кодированием
дробных чисел.

Программное повышение точности вычислений

Современные модели процессоров
Intel
«умеют» обрабатывать 8-, 16-, 32- и 64-разрядные
двоичные целые числа, а также (в
математическом сопроцессоре) 32-, 64- и
80-разрядные вещественные числа. Для
большинства практических задач такой
разрядности вполне достаточно.

Если
для каких-либо особо точных расчетов
требуется повысить разрядность
вычислений, это можно сделать программно.
Например, можно считать, что 4 последовательно
хранящихся целых 64-разрядных числа –
это единое «длинное» число, и написать
программу обработки таких «удлиненных»
чисел.

Очень удобно хранить числа в виде
последовательности десятичных цифр3,
правда, программы, выполняющие обработку
таких чисел, получаются сложными и
медленными.

Использование этих и других
программных методов позволяет увеличить
разрядность обрабатываемых чисел по
сравнению с аппаратной разрядностью
компьютера. Однако ограничение разрядности
(и связанный с ним эффект переполнения)
все равно остаётся: в программу заложено
конкретное
число разрядов, да и объём памяти
компьютера конечен.

  1. Чем отличается компьютерная арифметика от «обычной»? Почему?

  2. Почему диапазон чисел в компьютере ограничен? Связано ли это с двоичностью компьютерной арифметики?

  3. Что такое переполнение разрядной сетки?

  4. Какие проблемы появляются при ограниченном числе разрядов в дробной части?

  5. Что называется антипереполнением? Что, по-вашему, опаснее для вычислений – переполнение или антипереполнение?

  6. *Может ли антипереполнение сделать невозможными дальнейшие вычисления?

  7. Сколько бит информации несет знаковый разряд?

  8. Приведите примеры величин, которые по своему смыслу могут иметь только целые значения.

  9. Какие преимущества дает разделение в компьютере целых и вещественных (дробных) чисел?

  10. Какая математическая операция между двумя целыми числами может дать в результате нецелое число?

  11. Чем отличается деление для целых и вещественных чисел?

  12. Вспомните определение дискретных и непрерывных величин. Какие множества чисел в математике дискретны, а какие – нет? Ответ обоснуйте.

  13. Объясните, почему ограниченность разрядов дробной части приводит к нарушению свойства непрерывности.

Хранение
в памяти целых чисел

Источник: https://studfile.net/preview/7301360/page:2/

Целые числа. Определение целого числа

Латинской буквой mathbb{Z} обозначается множество целых чисел.

К примеру: 1, 3, 7, 19, 23 и т.д. Такие числа мы используем для подсчета (на столе лежит 5 яблок, у машины 4 колеса и др.)

  • Латинской буквой mathbb{N} — обозначается множество натуральных чисел.
  • К натуральным числам нельзя отнести отрицательные (у стула не может быть отрицательное количество ножек) и дробные числа (Иван не мог продать 3,5 велосипеда).
  • Числами, противоположными натуральным, являются отрицательные целые числа: −8, −148, −981, … . 

Арифметические действия с целыми числами

Что можно делать с целыми числами? Их можно перемножать, складывать и вычитать друг из друга. Разберем каждую операцию на конкретном примере.

Сложение целых чисел

Два целых числа с одинаковыми знаками складываются следующим образом: производится сложение модулей этих чисел и перед полученной суммой ставится итоговый знак:

(+11) + (+9) = +20

Вычитание целых чисел

Два целых числа с разными знаками складываются следующим образом: из модуля большего числа вычитается модуль меньшего и перед полученным ответом ставят знак большего по модулю числа:

(-7) + (+8) = +1

Умножение целых чисел

  1. Чтобы умножить одно целое число на другое нужно выполнить перемножение модулей этих чисел и поставить перед полученным ответом знак «+», если исходные числа были с одинаковыми знаками, и знак «−», если исходные числа были с разными знаками:
  2. (-5) cdot (+3) = -15
  3. (-3) cdot (-4) = +12
  4. Следует запомнить следующее правило перемножения целых чисел:
  5. + cdot + = +
  6. + cdot — = —
  7. — cdot + = —
  8. — cdot — = +
  9. Существует правило перемножения нескольких целых чисел. Запомним его:
  10. Знак произведения будет «+», если количество множителей с отрицательным знаком четное и «−», если количество множителей с отрицательным знаком нечетное.
  11. (-5) cdot (-4) cdot (+1) cdot (+6) cdot (+1) = +120

Деление целых чисел

Деление двух целых чисел производится следующим образом: модуль одного числа делят на модуль другого и если знаки чисел одинаковые, то перед полученным частным ставят знак «+», а если знаки исходных чисел разные, то ставится знак «−».

(-25) : (+5) = -5

Свойства сложения и умножения целых чисел

Разберем основные свойства сложения и умножения для любых целых чисел a, b и c:

  1. a + b = b + a – переместительное свойство сложения;
  2. (a + b) + c = a + (b + c) – сочетательное свойство сложения;
  3. a cdot b = b cdot a – переместительное свойство умножения;
  4. (a cdot c) cdot b = a cdot (b cdot c) – сочетательное свойства умножения;
  5. a cdot (b cdot c) = a cdot b + a cdot c – распределительное свойство умножения.

Источник: https://academyege.ru/page/celye-chisla.html

Натуральные числа

С чего начинается изучение математики? Да, правильно, с изучения натуральных чисел и действий с ними. Натуральные числа (от лат.

 naturalis — естественный; естественные числа) — числа, возникающие естественным образом при счёте (например, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9…).

Последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания, называется натуральным рядом.

      Существуют два подхода к определению натуральных чисел:

  1. натуральные числа — числа, возникающие при подсчете (нумерации) предметов (первый, второй, третий, четвёртый, пятый»…);
  2. натуральные числа — числа, возникающие при обозначении количества предметов (0 предметов, 1 предмет, 2 предмета, 3 предмета, 4 предмета, 5 предметов).

       В первом случае ряд натуральных чисел начинается с единицы, во втором — с нуля.

Не существует единого для большинства математиков мнения о предпочтительности первого или второго подхода (то есть считать ли ноль натуральным числом или нет).

В подавляющем большинстве российских источников традиционно принят первый подход. Второй подход, например, применяется в трудах Николя Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств.

Отрицательные и нецелые (рациональные, вещественные,…) числа к натуральным не относят.

Множество всех натуральных чисел принято обозначать символом N (от лат. naturalis — естественный). Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа n найдётся натуральное число, большее чем n.

Наличие нуля облегчает формулировку и доказательство многих теорем арифметики натуральных чисел, поэтому при первом подходе вводится полезное понятие расширенного натурального ряда, включающего нуль. Расширенный ряд обозначается N0 или Z0.

     К замкнутым операциям (операциям, не выводящим результат из множества натуральных чисел) над натуральными числами относятся следующие арифметические операции:

  • сложение: слагаемое + слагаемое = сумма;
  • умножение: множитель × множитель = произведение;
  • возведение в степень: ab, где a — основание степени, b — показатель степени. Если a и b — натуральные числа, то и результат будет натуральным числом.

Дополнительно рассматривают ещё две операции (с формальной точки зрения не являющиеся операциями над натуральными числами, так как не определены для всех пар чисел (иногда существуют, иногда нет)):

  • вычитание: уменьшаемое — вычитаемое = разность. При этом уменьшаемое должно быть больше вычитаемого (или равно ему, если считать нуль натуральным числом)
  • деление с остатком: делимое / делитель = (частное, остаток). Частное p и остаток r от деления a на b определяются так: a=p*r+b, причём 0

Источник: https://myalfaschool.ru/articles/naturalnye-chisla

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector