Чем отличается определенный интеграл от неопределенного

Почему вы не знаете, как решать интегралы

А для чего нужны интегралы? Попробуйте сами себе ответить на этот вопрос.

Объясняя тему интегралов, учителя перечисляют малополезные школьным умам области применения. Среди них:

  • вычисление площади фигуры.
  • вычисление массы тела с неравномерной плотностью.
  • определение пройденного пути при движении с непостоянной скоростью.
  • и др.

Связать все эти процессы не всегда получается, поэтому многие ученики путаются, даже при наличии всех базовых знаний для понимания интеграла.

Главная причина незнания – отсутствие понимания практической значимости интегралов.

Интеграл – что это?

Предпосылки. Потребность в интегрировании возникла в Древней Греции. В то время Архимед начал применять для нахождения площади окружности методы, похожие по сути на современные интегральные исчисления. Основным подходом для определения площади неровных фигур тогда был «Метод исчерпывания», который достаточно лёгок для понимания.

Суть метода. В данную фигуру вписывается монотонная последовательность других фигур, а затем вычисляется предел последовательности их площадей. Этот предел и принимался за площадь данной фигуры.

Чем отличается определенный интеграл от неопределенного

Метод исчерпывания для определения площади круга

В этом методе легко прослеживается идея интегрального исчисления, которая заключается в нахождении предела бесконечной суммы. В дальнейшем эта идея применялась учёными для решения прикладных задач астронавтики, экономики, механики и др.

Современный интеграл. Классическая теория интегрирования была сформулирована в общем виде Ньютоном и Лейбницем. Она опиралась на существовавшие тогда законы дифференциального исчисления. Для её понимания, необходимо иметь некоторые базовые знания, которые помогут математическим языком описать визуальные и интуитивные представления об интегралах.

Объясняем понятие «Интеграл»

Процесс нахождения производной называется дифференцированием, а нахождение первообразной – интегрированием.

Интеграл математическим языком – это первообразная функции (то, что было до производной) + константа «C».

Интеграл простыми словами – это площадь криволинейной фигуры. Неопределенный интеграл – вся площадь. Определенный интеграл – площадь в заданном участке.

Интеграл записывается так:

Чем отличается определенный интеграл от неопределенного

Каждая подынтегральная функция умножается на компонент «dx». Он показывает, по какой переменной осуществляется интегрирование. «dx» – это приращение аргумента. Вместо X может быть любой другой аргумент, например t (время).

Неопределённый интеграл

  • Неопределенный интеграл не имеет границ интегрирования.
  • Для решения неопределённых интегралов достаточно найти первообразную подынтегральной функции и прибавить к ней «C».
  • Пример решения неопределенного интеграла.

Определённый интеграл

В определенном интеграле на знаке интегрирования пишут ограничения «a» и «b». Они указаны на оси X в графике ниже.

Чем отличается определенный интеграл от неопределенного

Точки A и B на оси X – есть ограничение зоны определения интеграла

Для вычисления определенного интеграла необходимо найти первообразную, подставить в неё значения «a» и «b» и найти разность. В математике это называется формулой Ньютона-Лейбница:

Чем отличается определенный интеграл от неопределенного

Пример решения определенного интеграла

Таблица интегралов для студентов (основные формулы)

Чем отличается определенный интеграл от неопределенного

Скачайте формулы интегралов, они вам еще пригодятся

Как вычислять интеграл правильно

Существует несколько простейших операций для преобразования интегралов. Вот основные из них:

Вынесение константы из-под знака интеграла

Чем отличается определенный интеграл от неопределенного

Разложение интеграла суммы на сумму интегралов

Чем отличается определенный интеграл от неопределенного

Если поменять местами a и b, знак изменится

Чем отличается определенный интеграл от неопределенного

Можно разбить интеграл на промежутки следующим образом

Чем отличается определенный интеграл от неопределенного

Это простейшие свойства, на основе которых потом будут формулироваться более сложные теоремы и методы исчисления.

Примеры вычисления интегралов

Решение неопределенного интеграла

Чем отличается определенный интеграл от неопределенного

Решение определенного интеграла

Базовые понятия для понимания темы

Чтобы вы поняли суть интегрирования и не закрыли страницу от непонимания, мы объясним ряд базовых понятий. Что такое функция, производная, предел и первообразная.

Функция – правило, по которому все элементы из одного множества соотносятся со всеми элементами из другого.

Производная – функция, описывающая скорость изменения другой функции в каждой конкретной точке. Если говорить строгим языком, – это предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Он вычисляется вручную, но проще использовать таблицу производных, в которой собрано большинство стандартных функций.

Приращение – количественное изменение функции при некотором изменении аргумента.

Предел – величина, к которой стремиться значение функции, при стремлении аргумента к определённому значению.

Пример предела: допустим при X равном 1, Y будет равно 2. Но что, если X не равен 1, а стремится к 1, то есть никогда её не достигает? В этом случае y никогда не достигнет 2, а будет только стремиться к этой величине. На математическом языке это записывается так: limY(X), при X –> 1 = 2. Читается: предел функции Y(X), при x стремящемся к 1, равен 2.

Как уже было сказано, производная – это функция, описывающая другую функцию. Изначальная функция может быть производной для какой-либо другой функции. Эта другая функция называется первообразной.

Заключение

Найти интегралы не трудно. Если вы не поняли, как это делать, прочитайте статью еще раз. Со второго раза становится понятнее. Запомните! Решение интегралов сводится к простым преобразованиям подынтегральной функции и поиска её в таблице интегралов.

Если текстовое объяснение вам не заходит, посмотрите видео о смысле интеграла и производной: 

Источник: https://NauchnieStati.ru/spravka/integraly-dlya-chajnikov-kak-reshat-primery-i-obyasnenie/

Интегралы для чайников: как решать, правила вычисления, объяснение

Решение интегралов – задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл… Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы?

Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать простейшие и другие интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись в математике.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Изучаем понятие «интеграл»

Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц, но суть вещей не изменилась.

Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о пределах и производных, необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.

Неопределенный интеграл

Пусть у нас есть какая-то функция f(x).

Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x), производная которой равна функции f(x).

Чем отличается определенный интеграл от неопределенного

Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как вычислять производные, читайте в нашей статье.

Чем отличается определенный интеграл от неопределенного

Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Простой пример:

Чем отличается определенный интеграл от неопределенного

Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями.

Полная таблица интегралов для студентов

Чем отличается определенный интеграл от неопределенного

Определенный интеграл

Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.

В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции.

Чем отличается определенный интеграл от неопределенного

Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции? С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции.

Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры.

Читайте также:  В чем разница между геркулесом и овсянкой

Это и есть определенный интеграл, который записывается так:

Чем отличается определенный интеграл от неопределенного
Чем отличается определенный интеграл от неопределенного
Бари Алибасов и группа

«Интеграл»

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правила вычисления интегралов для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Как решить неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

  • Производная от интеграла равна подынтегральной функции:

Чем отличается определенный интеграл от неопределенного

  • Константу можно выносить из-под знака интеграла:

Чем отличается определенный интеграл от неопределенного

  • Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:

Чем отличается определенный интеграл от неопределенного

Свойства определенного интеграла

  • Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:
  • При любых точках a, b и с:

Как считать определенный интеграл? С помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Мы уже выяснили, что определенный интеграл – это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:

Примеры решения интегралов

Ниже рассмотрим неопределенный интеграл и примеры с решением. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в х.

Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.

Автор

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

Источник: https://Zaochnik-com.ru/blog/integraly-dlya-chajnikov-kak-reshat-pravila-vychisleniya-obyasnenie/

Определённый интеграл и методы его вычисления

Определённым интегралом от непрерывной функции f(x) на конечном отрезке [a, b] (где ) называется приращение какой-нибудь её первообразной на этом отрезке. (Вообще, понимание заметно облегчится, если повторить тему неопределённого интеграла) При этом употребляется запись

Как видно на графиках внизу (приращение первообразной функции обозначено ), определённый интеграл может быть как положительным, так и отрицательным числом (Вычисляется как разность между значением первообразной в верхнем пределе и её же значением в нижнем пределе, т. е. как F(b) — F(a)).

Чем отличается определенный интеграл от неопределенного

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а отрезок [a, b] – отрезком интегрирования.

Таким образом, если F(x) – какая-нибудь первообразная функция для f(x), то, согласно определению,

Чем отличается определенный интеграл от неопределенного

  • Равенство (38) называется формулой Ньютона-Лейбница. Разность F(b) – F(a) кратко записывают так:
  • Поэтому формулу Ньютона-Лейбница будем записывать и так:

Чем отличается определенный интеграл от неопределенного

Докажем, что определённый интеграл не зависит от того, какая первообразная подынтегральной функции взята при его вычислении. Пусть F(x) и Ф(х) – произвольные первообразные подынтегральной функции. Так как это первообразные одной и той же функции, то они отличаются на постоянное слагаемое: Ф(х) = F(x) + C. Поэтому

Чем отличается определенный интеграл от неопределенного

Тем самым установлено, что на отрезке [a, b] приращения всех первообразных функции f(x) совпадают.

Таким образом, для вычисления определённого интеграла необходимо найти любую первообразную подынтегральной функции, т.е. сначала следует найти неопределённый интеграл. Постоянная С из последующих вычислений исключается.

Затем применяется формула Ньютона-Лейбница: в первообразную функцию подставляется значение верхнего предела b, далее — значение нижнего предела a и вычисляется разность F(b) — F(a).

Полученное число и будет определённым интегралом..

При a = b по определению принимается

  1. Пример 1. Вычислить определённый интеграл
  2. Решение. Сначала найдём неопределённый интеграл:

Чем отличается определенный интеграл от неопределенного

  • Применяя формулу Ньютона-Лейбница к первообразной
  • (при С = 0), получим

Чем отличается определенный интеграл от неопределенного

Однако при вычислении определённого интеграла лучше не находить отдельно первообразную, а сразу записывать интеграл в виде (39).

  1. Пример 2. Вычислить определённый интеграл
  2. Решение. Используя формулу

Чем отличается определенный интеграл от неопределенного

получим

Чем отличается определенный интеграл от неопределенного

Найти определённый интеграл самостоятельно, а затем посмотреть решение

  • Пример 3. Найти определённый интеграл
  • .
  • Правильное решение и ответ.
  1. Пример 4. Найти определённый интеграл
  2. .
  3. Правильное решение и ответ.

Свойства определённого интеграла

Теорема 1. Определённый интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю, т.е.

Чем отличается определенный интеграл от неопределенного

Теорема 2. Величина определённого интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е.

Чем отличается определенный интеграл от неопределенного

Пусть F(x) – первообразная для f(x). Для f(t) первообразной служит та же функция F(t), в которой лишь иначе обозначена независимая переменная. Следовательно,

  • На основании формулы (39) последнее равенство означает равенство интегралов
  • и

Теорема 3. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла, т.е.

                    (41)       

Теорема 4. Определённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определённых интегралов от этих функций, т.е.

            (42)

Теорема 5. Если отрезок интегрирования разбит на части, то определённый интеграл по всему отрезку равен сумме определённых интегралов по его частям, т.е. если

  1. то
  2.                   (43)

Теорема 6. При перестановке пределов интегрирования абсолютная величина определённого интеграла не меняется, а изменяется лишь его знак, т.е.

                 (44)

Теорема 7 (теорема о среднем). Определённый интеграл равен произведению длины отрезка интегрирования на значение подынтегральной функции в некоторой точке внутри его, т.е.

   (45)

Теорема 8. Если верхний предел интегрирования больше нижнего и подынтегральная функция неотрицательна (положительна), то и определённый интеграл неотрицателен (положителен), т.е. если

Теорема 9. Если верхний предел интегрирования больше нижнего и функции и непрерывны, то неравенство

можно почленно интегрировать, т.е.

             (46)

Свойства определённого интеграла позволяют упрощать непосредственное вычисление интегралов.

  • Пример 5. Вычислить определённый интеграл
  • Используя теоремы 4 и 3, а при нахождении первообразных – табличные интегралы (7) и (6), получим

Определённый интеграл с переменным верхним пределом

  1. Пусть f(x) – непрерывная на отрезке [a, b] функция, а F(x) – её первообразная.

    Рассмотрим определённый интеграл

  2.                 (47)
  3. где
  4. ,

а через t  обозначена переменная интегрирования, чтобы не путать её с верхней границей.

При изменении х меняется и опредёленный интеграл (47), т.е. он является функцией верхнего предела интегрирования х, которую обозначим через Ф(х), т.е.

  •                        (48)
  • Докажем, что функция Ф(х) является первообразной для f(x) = f(t). Действительно, дифференцируя Ф(х), получим
  • так как F(x) – первообразная для f(x), а F(a) – постояная величина.

Функция Ф(х) – одна из бесконечного множества первообразных для f(x), а именно та, которая при x = aобращается в нуль. Это утверждение получается, если в равенстве (48) положить x = aи воспользоваться теоремой 1 предыдущего параграфа.

Вычисление определённых интегралов методом интегрирования по частям и методом замены переменной

  1. При выводе формулы интегрирования по частям было получено равенство u dv = d (uv) – v du.

    Проинтегрировав его в пределах от a до b и учитывая теорему 4 параграфа этой статьи о свойствах определённого интеграла, получим

  2. Как это следует из теоремы 2 параграфа о свойствах неопределённого интеграла, первый член в правой части равен разности значений произведения uv при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

    Записав эту разность кратко в виде

  3. получаем формулу интегрирования по частям для вычисления определенного интеграла:
  4.            (49)

Пример 6. Вычислить определённый интеграл

Решение. Интегрируем по частям, полагая u = ln x, dv = dx; тогда du = (1/x)dx, v = x. По формуле (49) находим

Найти определённый интеграл по частям самостоятельно, а затем посмотреть решение

  • Пример 7. Найти определённый интеграл
  • .
  • Правильное решение и ответ.
  1. Пример 8. Найти определённый интеграл
  2. .
  3. Правильное решение и ответ.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

  • Перейдём к вычислению определённого интеграла методом замены переменной. Пусть
  • где, по определению, F(x) – первообразная для f(x). Если в подынтегральном выражении произвести замену переменной
  • то в соответствии с формулой (16) можно записать
  • В этом выражении
  • первообразная функция для
  • В самом деле, её производная, согласно правилу дифференцирования сложной функции, равна
  • Пусть α и β – значения переменной t , при которых функция

принимает соответственно значения aи b, т.е.

  1. Тогда
  2. Но, согласно формуле Ньютона-Лейбница, разность F(b) – F(a) есть
  3. поскольку F(x) – первообразная для f(x).
  4. Итак,
  5.            (50)
  6. Это и есть формула перехода к новой переменной под знаком определённого интеграла. С её помощью определённый интеграл
  7. после замены переменной

преобразуется в определённый интеграл относительно новой переменной t. При этом старые пределы интегрирования a и b заменяются новыми пределами и . Чтобы найти новые пределы, нужно в уравнение

поставить значения x = aи x = b, т.е. решить уравнения

  • и

относительно и . После нахождения новых пределов интегрирования вычисление определённого интеграла сводится к применению формулы Ньютона-Лейбница к интегралу от новой переменной t. В первообразной функции, которая получается в результате нахождения интеграла, возвращаться к старой переменной нет необходимости.

При вычислении определённого интеграла методом замены переменной часто бывает удобно выражать не старую переменную как функцию новой, а, наоборот, новую – как функцию старой.

  1. Пример 9. Вычислить определённый интеграл
  2. Решение. Произведём замену переменной, полагая
  3. Тогда dt = 2x dx, откуда x dx = (1/2) dt, и подынтегральное выражение преобразуется так:
  4. Найдём новые пределы интегрирования. Подстановка значений x = 4и x = 5в уравнение
  5. даёт
  6. а
  7. Используя теперь формулу (50), получим
  8. После замены переменной мы не возвращались к старой переменной, а применили формулу Ньютона-Лейбница к полученной первообразной.

Найти определённый интеграл заменой переменной самостоятельно, а затем посмотреть решение

  • Пример 10. Найти определённый интеграл
  • .
  • Правильное решение и ответ.
  1. Пример 11. Найти определённый интеграл
  2. .
  3. Правильное решение и ответ.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу! Пройти тест по теме Интеграл

Начало темы «Интеграл»

Найти неопределённый интеграл: начала начал, примеры решений Метод замены переменной в неопределённом интеграле Интегрирование подведением под знак дифференциала Метод интегрирования по частям Интегрирование рациональных функций и метод неопределённых коэффициентов Интегрирование некоторых иррациональных функций Интегрирование тригонометрических функций

Продолжение темы «Интеграл»

Площадь плоской фигуры с помощью интеграла Объём тела вращения с помощью интеграла Вычисление двойных интегралов Длина дуги кривой с помощью интеграла Площадь поверхности вращения с помощью интеграла Определение работы силы с помощью интеграла

Поделиться с друзьями

Источник: https://function-x.ru/integral4.html

Неопределенный и определенный интеграл Понятие первообразной и неопределенный интеграл

Функция
называетсяпервообразной
функцией

для функции

png» width=»40″>на промежутке,
если в каждой точке этого промежутка

png» width=»91″>.

Пример.
А) является первообразной для,
т.к.

png» width=»121″>. Б)является первообразной для,
т.к.

png» width=»162″>.

Если
для функции существует первообразная,
то она не является единственной. Например,
функции,

png» width=»43″>и вообще(
некоторая произвольная постоянная)
являются первообразными для функции
.
Таким образом можно сформулировать
следующую теорему.

Теорема.
Если
и
первообразные для функции

png» width=»40″>на некотором промежутке,
то найдется такое число,
что будет справедливо равенство:

NBtB/img-PKArAH.png» width=»115″>.

Из
данной теоремы следует, что, если 
первообразная для функции

png» width=»40″>,
то выражение вида,
где

png» width=»21″>
произвольное число, задает все возможные
первообразные для .

Совокупность
всех первообразных функции на промежуткеназываетсянеопределенным
интегралом

от функции

png» width=»40″>и обозначается,
где
знак интеграла,

png» width=»40″>
подынтегральная функция, 
подынтегральное выражение, 
некоторая первообразная для

png» width=»40″>,
произвольная постоянная.

Операция
нахождения неопределенного интеграла
по заданной подынтегральной функции
называется интегрированием
этой функции
.
Данная операция является обратной для
операции дифференцирования.

Правила
интегрирования неопределенного
интеграла:

  1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. , где некоторое число.

Таблица
простейших интегралов

Основные
методы интегрирования неопределенного
интеграла:

  1. Непосредственное интегрирование. Вычисление интегралов с использованием основных правил и таблицы простейших интегралов.

Пример.
Найти .

Пример.Найти
.

  1. Метод замены переменной (метод подстановки). Данный метод основан на следующей теореме: Пусть функция определена и дифференцируема на отрезке

    NBtB/img-3y177D.png» width=»46″>, а  множество значений этой функции, на котором определена функция

    png» width=»40″>. Тогда если , то получаем или

    png» width=»280″>.

Пусть
заданный интеграл не может быть непосредственно преобразован
к табличному интегралу. Введем новую
переменную

png» width=»15″>:
.
Тогда
,

,
т.е.

.

Формула
показывает, что переходя к новой
переменной, достаточно выполнить замену
переменной в подынтегральном выражении.
Удачная замена переменной позволяет
упростить исходный интеграл, свести
его к табличному.

Замечание.
Новую переменную можно не выписывать
явно, а производить преобразования
функции под знаком дифференциала (путем
введения постоянных и переменных под
знак дифференциала).

Теорема.
Пусть

некоторая первообразная для функции

.
Тогда если вместо аргумента

png» width=»18″>
подынтегральной функции

и первообразной

подставить выражение

png» width=»44″>,
то это приведет к появлению дополнительного
множителя

перед первообразной: ,
где

png» width=»18″>
и


некоторые числа,
.

Алгоритм
метода:

      1. Делаем замену.

      2. Дифференцируем замену .

      3. Под знаком интеграла переходим к новой переменной.

      4. Находим табличный интеграл.

      5. Возвращаемся к старой переменной.

Пример.Найти
.

  1. Метод интегрирования по частям. Метод основан на теореме: Пусть функции и определены и дифференцируемы на промежутке

    NBtB/img-8bRj3D.png» width=»22″>, и функция имеет первообразную на этом промежутке. Тогда функция

    png» width=»88″> также имеет первообразную на промежутке , причем справедлива формула. Учитывая, что

    png» width=»204″>, получим.

  • Интегрирование
    по частям состоит в том, что подынтегральное
    выражение представляется каким-либо образом в
    виде произведения двух множителей

    и

    (последний обязательно содержит
    )
    и согласно формуле данное интегрирование
    заменяется двумя:
  • 1)
    при отыскании

    из выражения для
    ;
  • 2)
    при отыскании интеграла от
    .
  • Может
    оказаться, что эти два интегрирования
    легко осуществляются, тогда как заданный
    интеграл непосредственно найти трудно.

Замечание.
За

нужно брать то, что после дифференцирования
упрощается.

Пример.
Найти .

Пример.
Найти .

Источник: https://studfile.net/preview/6177738/

Тема 6 Определенный интеграл

Задача о вычислении площади криволинейной трапеции. Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Формула Ньютона – Лейбница. Свойства определенного интеграла.

Вычисление определенного интеграла методом замены переменной и по частям. Понятие о несобственных интегралах с бесконечными пределами интегрирования. Вычисление площадей плоских фигур.

Приближенное вычисление определенного интеграла по формуле трапеций.

  • Студенту необходимо рассмотреть задачу о площади криволинейной трапеции и разобраться в том, что площадь криволинейной трапеции есть предел площади S под ломанной при неограниченном приближении ломанной к заданной кривой.
  • Необходимо разобраться с понятием интегральной суммы, ее геометрическим смыслом и перейти к понятию определенного интеграла
  • Студент должен знать, что в отличие от неопределенного интеграла, который является семейством кривых, определенный интеграл является числом и определенный интеграл вычисляется формулой Ньютона-Лейбница.
  1. Благодаря этой формуле, интеграл вычисляется путем нахождения приращения первообразной для данной функции на отрезке интегрирования.
  2. Достаточное условие интегрируемости функции на отрезке – непрерывность подынтегральной функции на этом отрезке.
  3. Студент должен разобраться в методах интегрирования, изучив для этого свойства определенного интеграла и теорему о среднем.

Метод интегрирования по частям позволяет расширить класс интегрируемых функций за пределы табличных интегралов. При этом необходимо использовать приемы интегрирования по частям для неопределенного интеграла.

Метод подстановки также расширяет класс интегрируемых функций. При этом нужно помнить, что при введении новой переменной изменяются пределы интегрирования. После их изменения можно рассчитать определенный интеграл, не возвращаясь к старой переменной.

Несобственный интеграл вычисляется как интеграл с одним или с двумя неограниченными пределами. Подынтегральная функция определена и непрерывна на одном из промежутков [a;+¥), (-¥;b], [-¥;+¥].

Если несобственный интеграл сходится, то он имеет конечный предел, если не сходится, то предел его равен бесконечности или не существует.

Для вычисления площадей плоских фигур необходимо уметь определять пределы интегрирования, если они не заданы и если площадь фигуры представляется в виде сумм или разностей криволинейных трапеций. Поэтому нужно построить кривые, ограничивающие плоские фигуры, определяют граничные условия (пределы интегрирования).

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/6_15471_tema—opredelenniy-integral.html

Первообразная и неопределенный интеграл, их свойства

Для начала, дадим определение понятиям, которые будут использоваться в данном разделе. В первую очередь это первообразная функции. Для этого введем константу C.

Определение 1

Первообразная функции f(x) на промежутке (a; b) это такая функция F(x), при которое формула F'(x)=f(x) превращается в равенство для любого x из заданного промежутка.

Следует учитывать тот факт, что производная от константы C будет равна нулю, что позволяет нам считать верным следующее равенство F(x)+C'=f(x).

Получается, что функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C, для произвольной константы C. Эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.

Определение неопределенного интеграла

Все множество первообразных функции f(x) можно назвать неопределенным интегралом этой функции. С учетом этого формула будет иметь вид ∫f(x)dx=F(x)+C. При этом, выражение f(x)dx является подынтегральным выражением, а f(x) – это подынтегральная функция. Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x).

Имея заданный дифференциал функции, мы можем найти неизвестную функцию.

Результатом неопределенного интегрирования будет не одна функция F(x), а множество ее первообразных F(x)+C.

  • Зная свойства производной, мы можем сформулировать и доказать свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной).

∫f(x)dx'=F(x)+C'=f(x)

  • Производная результата интегрирования равна подынтегральной функции.

∫d(F(x))=∫F'(x)dx=∫f(x)dx=F(x)+C

  • Неопределенный интеграл дифференциала функции равен сумме самой функции и произвольной константы.

∫k·f(x)dx=k·∫f(x)dx, где k – произвольная константа. Коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла.

  • Неопределенный интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности неопределенных интегралов функций.
  • ∫f(x)±g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx
  • Промежуточные равенства первого и второго свойств неопределенного интеграла мы привели в качестве пояснения.
  • Для того, чтобы доказать третье и четвертое свойства, необходимо найти производные от правых частей равенств:
  • k·∫f(x)dx'=k·∫d(x)dx'=k·f(x)∫f(x)dx±∫g(x)dx'=∫f(x)dx'±∫g(x)dx'=f(x)±g(x)

Производные правых частей равенств равны подынтегральным функциям, что является доказательством первого свойства. Его же мы используем в последних переходах.

Как видите, задача интегрирования представляет собой обратный процесс по отношению к задаче дифференцирования. Обе эти задачи тесно связаны между собой.

Первое свойство может быть использовано для проведения проверки интегрирования. Для проверки нам достаточно вычислить производную полученного результата. Если полученная функция будет равна подынтегральной функции, то интегрирование проведено верно.

Благодаря второму свойству по известному дифференциалу функции мы можем найти ее первообразную и использовать ее для вычисления неопределенного интеграла.

Рассмотрим пример.

Пример 1

  1. Найдем первообразную функции f(x)=1x, значение которой равно единице при х=1.
  2. Решение
  3. Используя таблицу производных основных элементарных функций получаем
  4. d(ln x)=(ln x)'dx=dxx=f(x)dx∫f(x)dx=∫dxx=∫d(ln(x))

Используя второе свойство ∫d(ln(x))=ln(x)+C, мы получаем множество первообразных ln(x)+C. При х=1 получим значение ln(1)+C=0+C=C. Согласно условию задачи, это значение должно быть равно единице, следовательно, С = 1. Искомая первообразная примет вид  ln(x)+1.

Ответ: f(x)=1x=ln(x)+1

Пример 2

  • Необходимо найти неопределенный интеграл ∫2sinx2cosx2dx и проверить результат вычисления дифференцированием.
  • Решение
  • Используем для проведения вычислений формулу синуса двойного угла из курса тригонометрии 2sinx2cosx2=sin x, получим ∫2sinx2cosx2dx=∫sin xdx.
  • Используем таблицу производных для тригонометрических функций, получим:
  • d(cos x)=cos x'dx=-sin xdx⇒sin xdx=-d(cos x)
  • То есть, ∫sin xdx=∫(-d(cos x))
  • Используя третье свойство неопределенного интеграла, мы можем записать ∫-d(cos x)=-∫d(cos x).
  • По второму свойству получаем -∫d(cos x)=-(cos x+C)
  • Следовательно, ∫2sin x2cosx2dx=-cos x-C.
  • Проверим полученный результат дифференцированием.
  • Продифференцируем полученное выражение:
    -cos x-C'=-(cos x)'-(C)'=-(-sin x)=sin x=2sinx2cosx2

В результате проверки мы получили подынтегральную функцию. Это значит, что интегрирование было проведено нами верно. Для осуществления последнего перехода мы использовали формулу синуса двойного угла.

Ответ: ∫2sin x2cosx2dx=-cos x-C

Если таблицу производных основных элементарных функций переписать в виде дифференциалов, то из нее по второму свойству неопределенного интеграла можно составить таблицу первообразных.

Подробнее эту тему мы рассмотрим в следующем разделе  «Таблица первообразных (таблица неопределенных интегралов)».

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/integraly-integrirovanie/pervoobraznaja-i-neopredelennyj-integral-ih-svojst/

прикладная математика

     Определенный интеграл. Теорема существования.

     Решение многих важных задач геометрии и физики (определение площади, работы, массы, пути) приводит к одной и той же последовательности действий над известными функциями и их аргументами.
     Если отвлечься от физического смысла переменных и от их обозначений, то указанная последовательность действий состоит в следующем:

     1) Интервал ([a, b]), в котором задана непрерывная функция (f(x)), разбивается на (n) частичных интервалов при помощи точек $$x_{0}=a,x_{1},x_{2},…,x_{n-1},x_{n}=b.$$

     2) Значение функции (f(xi _{i})) в какой-нибудь точке (xi _{i}in [x_{i-1},x_{i}]) умножается на длину этого интервала (x_{i}-x_{i-1}), т.е. составляется произведение (f(xi _{i})(x_{i}-x_{i-1}).)
     3) Берется сумма (I_{n}) всех этих произведений $$I_{n}=f(xi _{1})(x_{1}-x_{0})+f(xi _{2})(x_{2}-x_{1})+…+f(xi _{n})(x_{n}-x_{n-1})=sum_{i=1}^{n}{f(xi _{i})(x_{i}-x_{i-1})}$$
или, если обозначить (x_{i}-x_{i-1}) через (Delta x_{i}),

$$I_{n}=sum_{i=1}^{n}{f(xi _{i})Delta x_{i}}.$$ (1)

     4) Находится предел (I) суммы (I_{n}) при стремлении к нулю длины наибольшего частичного интервала, и следовательно, при (n
ightarrow propto), т.е. $$I=lim I_{n}=lim sum_{i=1}^{n}{f(xi _{i})Delta x_{i}}.$$
     В рассмотренных выше четырех конкретных задачах этот предел (I) измеряет соответственно площадь, работу, путь, массу. В общем слк=учае он называется определенным интегралом или просто интегралом от функции (f(x)) в пределах от (a) до (b) и обозначается так: $$I=int_{a}^{b}{f(x)dx}$$ и читается: интеграл от от (a) до (b) (f(x)) на (dx). Следовательно, по определению $$int_{a}^{b}{f(x)dx}=lim sum_{i=1}^{n}{f(xi _{i})Delta x_{i}}.$$

Сумма (1) называется (n)-й интегральной суммой.

     Определение. Определенным интегралом называется предел, к которому стремится (n)-я интегральная сумма (1) при стремлении к нулю длины наибольшего частичного интервала.
     Как и в неопределенном интеграле, функция (f(x)) — подынтегральная функция, выражение (f(x)dx) — подынтегральное выражение и переменная (x) — переменная интегрирования. Интервал ([a, b]) называется интервалом интегрирования, число (a) — нижний, а число (b) — верхний пределы интеграла.
     Сам процесс образования определенного интеграла показывает, что символ (int_{a}^{b}{f(x)dx}) есть некоторе число. Величина его зависит только от вида подынтегральной функции и от чисел (a) и (b), определяющих интервал интегрирования. Переменная интегрирования (x) служит лишь для удобного обозначения определенного интеграла; ничего не изменится, если переменную интегрирования обозначить другой буквой, например (t) или (u): $$int_{a}^{b}{f(x)dx}=int_{a}^{b}{f(t)dt}=int_{a}^{b}{f(u)du}.$$
     Внешняя общность записи определенного и неопределенного интегралов подчеркивает тесную связь между ними, хотя определенный интеграл есть число, а неопределенный интеграл — совокупность первообразных функций.
     Итак, совершенно очевидный результат $$int_{a}^{b}{dx}=b-a,$$ который следует из того, что любая интегральная сумма для функции (f(x)equiv 0) равна (b-a):
$$sum_{i=1}^{n}{Delta x_{i}}=x_{1}-x_{0}+x_{2}-x_{1}+…+x_{n}-x_{n-1}=x_{n}-x_{0}=b-a.$$
     Применяя определение интеграла, можно сделать такие выводы:

     1) Площадь криволинейной трапеции равна интегралу от ординаты линии, ограничивающей трапецию, взятому по основанию: $$s=int_{a}^{b}{f(x)dx}.$$

     2) Работа, произведенная силой, равна интегралу от силы, взятому по пути: $$A=int_{0}^{S}{f(S)dS}.$$
     3) Путь, пройденный телом, равен интегралу от скорости, взятому по времени: $$S=int_{T_{1}}^{T_{2}}{f(t)dt}.$$
     4) Масса, распределенная на линии, равна интегралу от плотности, взятому по длине линии: $$m=int_{0}^{s}{f(s)ds}.$$
     Теорема существования определенного интеграла. Если функция (f(x)) непрерывна в замкнутом интервале ([a, b]), то ее (n)-я интегральная сумма стремится к пределу при стремлении к нулю длины наибольшего частичного интервала. Этот предел, т.е. определенный интеграл (int_{a}^{b}{f(x)dx}), не зависит от способа разбиения интервала интегрирования на частичные интервалы и от выбора в них промежуточных точек.
     Интегральные суммы, составленные при различных разбиениях интервала интегрирования и различных выборах точек (xi), могут отличаться друг от друга весьма значительно. Сформулированная выше теорема показывает, что для непрерывных функций разница между этими суммами стирается по мере возрастания числа точек деления и убывания длины наибольшего частичного интервала, совсем исчезая в пределе.

  • Нравится | +26

  • 2012-11-04 • Просмотров [ 4890 ]

Источник: http://primat.org/publ/spravochnye_materialy/opredelennyj_integral_teorema_ushhestvovanija/37-1-0-704

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector